数据结构篇-平衡二叉树(AVL树)

平衡二叉树定义

任意节点的子树的高度差都小于等于1,并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树

• B树（多路平衡搜索树)
• AVL树（二叉平衡搜索树)

时间复杂度:平均O(logN),最坏O(N)

添加元素

总是作为叶子节点插入，当破坏平衡性，首先从该新节点向根节点查找第一个失去平衡的节点，然后以该失衡节点和它相邻的刚查找过的两个节点构成调整子树，使之成为新的平衡子树。当失衡的最小子树被调整为平衡子树后，整棵树恢复平衡。

失衡的最小子树是指以离插入节点最近,且平衡因子绝对值大于1的结点作为根的子树。假设用A表示失衡的最小子树的根结点，则调整该子树的操作可归纳为下列四种情况

平衡因子：该节点左子树高度-该右子树高度（或者该右子树高度-该节点左子树高度）,当为0,1,-1时为平衡二叉树

• LL型调整

这是因在A节点的左子树(设为B结点)的右子树上插入结点，使得A结点的 平衡因子由1变为2而引起的不平衡。

调整方法：将B结点向上升替代A结点成为根节点，A结点作为B结点的右子树，B结点的原右子树b作为A结点左子树。

• RR型调整

这是因在A节点的右子树(设为B结点)的右子树上插入结点，使得A结点的 平衡因子由-1变为-2而引起的不平衡。

调整方法：将B结点向上升替代A结点成为根节点，A结点作为B结点的左子树，B结点的原左子树b作为A结点右子树。

• LR型调整

这是因在A节点的左子树(设为B结点)的右子树上插入结点，使得A结点的 平衡因子由1变为2而引起的不平衡。

调整方法：将C结点向上升替代A结点成为根节点，B结点作为C结点的左子树，A结点作为C结点的右子树，C结点的原左子树b作为B结点右子树，C结点的原右子树y作为A结点左子树。

• RL型调整

这是因在A节点的右子树(设为B结点)的左子树上插入结点，使得A结点的 平衡因子由-1变为-2而引起的不平衡。

调整方法：将C结点向上升替代A结点成为根节点，A结点作为C结点的左子树，B结点作为C结点的右子树，C结点的原左子树b作为A结点右子树，C结点的原右子树y作为B结点左子树。

删除元素

平衡二叉树删除一个结点与二叉排序树类似，只是增加调整步骤。

删除过程

1.查找。先在平衡二叉树中查找关键字为k的结点p。

2.删除。删除分为以下几种情况。

2.1 叶子节点：直接删除该结点。

2.2 单分支节点：用p结点的左或右孩子结点替代p结点（结点替换）。

2.3 双分支节点：用p结点的中序前驱（或者中序后继）结点q的值替换p结点的值，再删除结点q。

3.调整。若被删除的是结点q，则从结点q向根结点方向查找第一个失去平衡的结点

3.1 若所有节点都是平衡的，则不需调整。

3.2 假设找到某个结点的平衡因子=-2：其左孩子的平衡因子=-1，则作RR型调整。其右孩子的平衡因子=1，则做RL型调整。其右孩子平衡因子=0，在作RR或者RL型调整均可。

3.3 假设找到某个结点的平衡因子=2：其左孩子的平衡因子=-1，则作LR型调整。其右孩子的平衡因子=1，则做LL型调整。其右孩子平衡因子=0，在作LR或者LL型调整均可。

参考例子

代码实现

//AVL算法
#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
typedef int KeyType;					//关键字类型
typedef char InfoType;
typedef struct node               		//记录类型
{	
	KeyType key;                  		//关键字项
    int bf;								//平衡因子
    InfoType data;               		//其他数据域
    struct node *lchild,*rchild;		//左右孩子指针
} BSTNode;
void LeftProcess(BSTNode *&p,int &taller)
//对以指针p所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理,本算法结束时,指针p指向新的根结点
{
	BSTNode *p1,*p2;
	if (p->bf==0)			//原本左、右子树等高,现因左子树增高而使树增高
	{
		p->bf=1;
		taller=1;
	}
	else if (p->bf==-1)		//原本右子树比左子树高,现左、右子树等高 
	{
		p->bf=0;
		taller=0;
	}
	else					//原本左子树比右子树高,需作左子树的平衡处理
	{
		p1=p->lchild;		//p1指向结点p的左孩子
		if (p1->bf==1)		//新结点插入在结点b的左孩子的左子树上,要作LL调整
		{
			p->lchild=p1->rchild;
			p1->rchild=p;
			p->bf=p1->bf=0;
			p=p1;
		}
		else if (p1->bf==-1)	//新结点插入在结点b的左孩子的右子树上,要作LR调整
		{
			p2=p1->rchild;
			p1->rchild=p2->lchild;
			p2->lchild=p1;
			p->lchild=p2->rchild;
			p2->rchild=p;
			if (p2->bf==0)			//新结点插在p2处作为叶子结点的情况
				p->bf=p1->bf=0;	
			else if (p2->bf==1)		//新结点插在p2的左子树上的情况
			{
				p1->bf=0;p->bf=-1;
			}
			else					//新结点插在p2的右子树上的情况
			{
				p1->bf=1;p->bf=0;
			}
			p=p2;p->bf=0;			//仍将p指向新的根结点,并置其bf值为0
		}
		taller=0;
	}
}
void RightProcess(BSTNode *&p,int &taller)
//对以指针p所指结点为根的二叉树作右平衡旋转处理,本算法结束时,指针p指向新的根结点
{
	BSTNode *p1,*p2;
	if (p->bf==0)			//原本左、右子树等高,现因右子树增高而使树增高
	{
		p->bf=-1;
		taller=1;
	}
	else if (p->bf==1)		//原本左子树比右子树高,现左、右子树等高
	{
		p->bf=0;	
		taller=0;
	}
	else					//原本右子树比左子树高,需作右子树的平衡处理
	{
		p1=p->rchild;		//p1指向结点p的右子树根结点
		if (p1->bf==-1)		//新结点插入在结点b的右孩子的右子树上,要作RR调整
		{
			p->rchild=p1->lchild;
			p1->lchild=p;
			p->bf=p1->bf=0;
			p=p1;
		}
		else if (p1->bf==1)		//新结点插入在结点p的右孩子的左子树上,要作RL调整
		{
			p2=p1->lchild;
			p1->lchild=p2->rchild;
			p2->rchild=p1;
			p->rchild=p2->lchild;
			p2->lchild=p;
			if (p2->bf==0)			//新结点插在p2处作为叶子结点的情况
				p->bf=p1->bf=0;	
			else if (p2->bf==-1)	//新结点插在p2的右子树上的情况
			{
				p1->bf=0;p->bf=1;
			}
			else					//新结点插在p2的左子树上的情况
			{
				p1->bf=-1;p->bf=0;
			}
			p=p2;p->bf=0;			//仍将p指向新的根结点,并置其bf值为0
		}
		taller=0;
	}
}
int InsertAVL(BSTNode *&b,KeyType e,int &taller)
/*若在平衡的二叉排序树b中不存在和e有相同关键字的结点,则插入一个
  数据元素为e的新结点,并返回1,否则返回0。若因插入而使二叉排序树
  失去平衡,则作平衡旋转处理,布尔变量taller反映b长高与否*/
{
	  if(b==NULL)			//原为空树,插入新结点,树“长高”,置taller为1
	{ 
		b=(BSTNode *)malloc(sizeof(BSTNode));
		b->key=e;
		b->lchild=b->rchild=NULL;
		b->bf=0;
		taller=1;
	}
    else
    {
		if (e==b->key)				//树中已存在和e有相同关键字的结点则不再插入
		{ 
			taller=0;
			return 0;
		}
		if (e<b->key)				//应继续在结点b的左子树中进行搜索
		{ 
			if ((InsertAVL(b->lchild,e,taller))==0) //未插入
				return 0;
			if (taller==1)			//已插入到结点b的左子树中且左子树“长高”
				LeftProcess(b,taller);
		}
		else						//应继续在结点b的右子树中进行搜索
		{ 
			if ((InsertAVL(b->rchild,e,taller))==0) //未插入
				return 0;
			if (taller==1)			//已插入到b的右子树且右子树“长高”
				RightProcess(b,taller);
		}
    }
	return 1;
}
void DispBSTree(BSTNode *b)			//以括号表示法输出AVL
{
	if (b!=NULL)
	{
		printf("%d",b->key);
		if (b->lchild!=NULL || b->rchild!=NULL)
		{
			printf("(");
			DispBSTree(b->lchild);
			if (b->rchild!=NULL) printf(",");
			DispBSTree(b->rchild);
			printf(")");
		}
	}
}
void DestroyAVL(BSTNode *&b)	//销毁AVL
{
	if (b!=NULL)
	{
		DestroyAVL(b->lchild);
		DestroyAVL(b->rchild);
		free(b);
	}
}
void LeftProcess1(BSTNode *&p,int &taller)	//在删除结点时进行左处理
{
	BSTNode *p1,*p2;
	if (p->bf==1)
	{
		p->bf=0;
		taller=1;
	}
	else if (p->bf==0)
	{
		p->bf=-1;
		taller=0;
	}
	else		//p->bf=-1
	{
		p1=p->rchild;
		if (p1->bf==0)			//需作RR调整
		{
			p->rchild=p1->lchild;
			p1->lchild=p;
			p1->bf=1;p->bf=-1;
			p=p1;
			taller=0;
		}
		else if (p1->bf==-1)	//需作RL调整
		{
			p->rchild=p1->lchild;
			p1->lchild=p;
			p->bf=p1->bf=0;
			p=p1;
			taller=1;
		}
		else					//需作RL调整
		{
			p2=p1->lchild;
			p1->lchild=p2->rchild;
			p2->rchild=p1;
			p->rchild=p2->lchild;
			p2->lchild=p;
			if (p2->bf==0)
			{
				p->bf=0;p1->bf=0;
			}
			else if (p2->bf==-1)
			{
				p->bf=1;p1->bf=0;
			}
			else
			{
				p->bf=0;p1->bf=-1;
			}
			p2->bf=0;
			p=p2;
			taller=1;
		}
	}
}
void RightProcess1(BSTNode *&p,int &taller) //在删除结点时进行右处理
{
	BSTNode *p1,*p2;
	if (p->bf==-1)
	{
		p->bf=0;
		taller=-1;
	}
	else if (p->bf==0)
	{
		p->bf=1;
		taller=0;
	}
	else		//p->bf=1
	{
		p1=p->lchild;
		if (p1->bf==0)			//需作LL调整
		{
			p->lchild=p1->rchild;
			p1->rchild=p;
			p1->bf=-1;p->bf=1;
			p=p1;
			taller=0;
		}
		else if (p1->bf==1)		//需作RL调整
		{
			p->lchild=p1->rchild;
			p1->rchild=p;
			p->bf=p1->bf=0;
			p=p1;
			taller=1;
		}
		else					//需作LR调整
		{
			p2=p1->rchild;
			p1->rchild=p2->lchild;
			p2->lchild=p1;
			p->lchild=p2->rchild;
			p2->rchild=p;
			if (p2->bf==0)
			{
				p->bf=0;p1->bf=0;
			}
			else if (p2->bf==1)
			{
				p->bf=-1;p1->bf=0;
			}
			else
			{
				p->bf=0;p1->bf=1;
			}
			p2->bf=0;
			p=p2;
			taller=1;
		}
	}
}
void Delete2(BSTNode *q,BSTNode *&r,int &taller)  
//由DeleteAVL()调用,用于处理被删结点左右子树均不空的情况
{
	if (r->rchild==NULL)
	{
		q->key=r->key;
		q=r;
		r=r->lchild;
		free(q);
		taller=1;
	}
	else
	{
		Delete2(q,r->rchild,taller);
		if (taller==1) 
			RightProcess1(r,taller);
	}
}
int DeleteAVL(BSTNode *&p,KeyType x,int &taller) //在AVL树p中删除关键字为x的结点
{
	int k;
	BSTNode *q;
	if (p==NULL) 
		return 0;
	else if (x<p->key)
	{
		k=DeleteAVL(p->lchild,x,taller);
		if (taller==1) 
			LeftProcess1(p,taller);
		return k;
	}
	else if (x>p->key)
	{
		k=DeleteAVL(p->rchild,x,taller);
		if (taller==1) 
			RightProcess1(p,taller);
		return k;
	}
	else			//找到了关键字为x的结点,由p指向它
	{
		q=p;
		if (p->rchild==NULL)		//被删结点右子树为空
		{
			p=p->lchild;
			free(q);
			taller=1;
		}
		else if (p->lchild==NULL)	//被删结点左子树为空
		{
			p=p->rchild;
			free(q);
			taller=1;
		}
		else						//被删结点左右子树均不空
		{
			Delete2(q,q->lchild,taller);
			if (taller==1) 
				LeftProcess1(q,taller);
			p=q;
		}
		return 1;
	}
}
int main()
{
	BSTNode *b=NULL;
	int i,j,k;
	KeyType a[]={16,3,7,11,9,26,18,14,15},n=9;  //例9.5
	printf(" 创建一棵AVL树:\n");
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		printf("   第%d步,插入%d元素:",i+1,a[i]);
		InsertAVL(b,a[i],j);
		DispBSTree(b);printf("\n"); 
	}
	printf("   AVL:");DispBSTree(b);printf("\n");
	printf(" 删除操作:\n");						//例9.6
	k=11;
	printf("   删除关键字%d:",k);
	DeleteAVL(b,k,j);
	printf("   AVL:");DispBSTree(b);printf("\n");
	k=9;
	printf("   删除关键字%d:",k);
	DeleteAVL(b,k,j);
	printf("   AVL:");DispBSTree(b);printf("\n");
	k=15;
	printf("   删除关键字%d:",k);
	DeleteAVL(b,k,j);
	printf("   AVL:");DispBSTree(b);printf("\n\n");
	DestroyAVL(b);
	return 1;
}

参考资料

平衡二叉树-PPT

平衡二叉树详解
平衡二叉树的实现原理
平衡二叉树实现的实例